Arranjo e Combinação

Para entendermos esses dois assuntos, devemos considerar um grupo de n elementos distintos e nos perguntarmos quantas maneiras existem de selecionar um subconjunto de tamanho p desse grupo. Por exemplo, no Campeonato Brasileiro de Futebol Masculino da Primeira Divisão, os 4 primeiros clubes dentre os 20 participantes estarão classificados à Taça Libertadores da América do ano seguinte, portanto, quantos agrupamentos distintos de 4 grupos poderemos formar com os 20 clubes? Isso é combinação, onde a ordem dos elementos não é relevante. 

 

Podemos explicar o arranjo utilizando esse mesmo exemplo, mas seria um pouco diferente, já que no arranjo deveremos levar em conta a ordem dos elementos. O problema ficaria assim: No Campeonato Brasileiro, quantas possibilidades existem levando em conta o campeão, o vice-campeão, o terceiro e o quarto colocados? É importante ver que o conjunto 1 {Cruzeiro, São Paulo, Internacional, Corinthians} é diferente do conjunto 2 {Corinthians, Internacional, São Paulo, Cruzeiro}. Na combinação, essa ordem não importa, já que os 4 estarão classificados para a Taça Libertadores da América. No arranjo, essa ordem importa, uma vez que o Cruzeiro sendo campeão e o São Paulo vice no conjunto 1 é diferente do Corinthians campeão e do Internacional vice no conjunto 2.

 

Para o cálculo do 1° exemplo, usaremos a fórmula C = n!/[p!(n-p)!] - onde o símbolo de exclamação (!) significa fatorial (para mais informações sobre, consultar a página sobre fatorial neste blog). Substituindo n por 20 (quantidade de clubes participantes do campeonato) e p por 4 (quantidade de clubes classificados), teremos C = 20!/[4!(20-4)!]. Podemos simplificar

C = 20*19*18*17*16!/4!*16!, então C = 20*19*18*17/4*3*2*1. Resolvendo a fórumla, temos C = 4845.

 

No 2° exemplo, usaremos uma fórmula similar, onde A = n!/(n-p)!. Note que a única diferença daqui para a equação da combinação é que o termo (n-p)! no denominador não é multiplicado por p!. Substituindo os valores, obtemos

A = 20!/(20-4)!. Simplificando, A = 20*19*18*17*16!/16!, então A = 20*19*18*17, ou seja A = 116280.

 

Note que temos 4845 possibilidades diferentes de agrupamentos de clubes classificados à Taça Libertadores da América. Já para as 4 primeiras colocações, obteremos 116280 maneiras de arranjar os 4 primeiros colocados do campeonato na ordem. Verificamos que as possibilidades são enormes e todas podem acontecer, por isso o esporte é tão interessante.

 

Ainda utilizando o Campeonato Brasileiro de Futebol Masculino da Primeira Divisão como exemplo, queremos saber quantos jogos poderemos realizar no sistema de turno e returno, com os 20 times se enfrentando entre si.

 

 

De um total de 6 pratos à base de carboídratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 desses itens. Os itens devem ser diferentes, e conter ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?


Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C10, 5:

Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual aC6, 5:

Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes pratos são o produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1, referentes ao único item de proteína:

Multiplicando as combinações:

Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.

Poderíamos ter resolvido este exercício de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como e vamos lhe dar o resultado, mas 
o desenvolvimento em si você mesmo deverá fazer, para que consiga fixar melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, não deixe de fazê-lo.

O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e 2 itens de proteína.

Já o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato e 3 itens de proteína.

Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato e 4 itens de  proteína.

Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto, o número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.